三角形与全等

综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图[]），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形[]（数据如图[]所示）．作一条直线[]，使[]与[]所夹的锐角为[]，且将矩形[]分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． | 如图3，嘉嘉的思路如下： | 如图4，淇淇的方法如下： | | ①连接[]，[]交于点[]； | ①在边[]上截取[]，连接[]； | | ②过点

下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： | 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD． | | 求证：四边形ABCD是平行四边形． | | 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3． | | ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， | | ∴①______． | | 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， | | ∴△MAD≌△MCB（②______）． | | ∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形． | 若以上解答

如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C₁，C₂，C₃是线段CC₄的五等分点，点A，D₁，D₂是线段DD₃的四等分点，点A是线段BB₁的中点． （1）△AC₁D₁的面积为 1 ； （2）△B₁C₄D₃的面积为 7 ． []

中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及tanα的值； （2）求CP的长及sin∠APC的值． []

情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段EF的长； （2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长． 探究 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五

四边形[]的边长如图所示，对角线[]的长度随四边形形状的改变而变化．当[]为等腰三角形时，对角线[]的长为（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

综合实践课上，嘉嘉画出[]，利用尺规作图找一点C，使得四边形[]为平行四边形．图1~图3是其作图过程． | （1）作[]的垂直平分线交[]于点O； | （2）连接[]，在[]的延长线上截取[]； | （3）连接[]，[]，则四边形[]即为所求． | | [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] | [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰

如图，在[]中，[]，点M是斜边[]的中点，以[]为边作正方形[]，若[]，则[]（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

在[]和[]中，[]．已知[]，则[]（ ）

如图，直线[]，菱形[]和等边[]在[]，[]之间，点A，F分别在[]，[]上，点B，D，E，G在同一直线上：若[]，[]，则[]（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以[]为直径的半圆[]，[]，如图1和图2所示，[]为水面截线，[]为台面截线，[]． 计算：在图1中，已知[]，作[]于点[]． （1）求[]的长． 操作：将图1中的水面沿[]向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当[]时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为[]，[]与半圆的切点为[]，连接[]交[]于点[]． [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 探究：在图2中 （2）操

如图1和图2，平面上，四边形[]中，[]，点[]在[]边上，且[]．将线段[]绕点[]顺时针旋转[]到[]的平分线[]所在直线交折线[]于点[]，设点[]在该折线上运动的路径长为[]，连接[]． [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] （1）若点[]在[]上，求证：[]； （2）如图2．连接[]． ①求[]的度数，并直接写出当[]时，[]的值； ②若点[]到[]的距离为[]，求[]的值； （3）当[]时，请直接写出

如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为[]，[]，则正确的是（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：[]，乙答：d＝1.6，丙答：[]，则正确的是（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）； （2）AE＝______． [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线[]．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m． [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] （1）求∠C的大小及AB的长； （2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：[]取4，[]取4.1）

定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B． | 证法1：如图， | | ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， | | 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， | | ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． | | ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）． | | 证法2：如图， | | ∵∠A＝76°，∠B＝59°， | | 且∠ACD＝135°（量角器测量所得） | | 又∵135°＝76°+59

如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作： ①以O为圆心，OA为半径画圆； ②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP； ③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N； ④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F． 结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形； 结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S_(扇形FOM)＝S_(扇形AOB)． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ） []

如图1，已知[]，用尺规作它的角平分线． 如图2，步骤如下， 第一步：以[]为圆心，以[]为半径画弧，分别交射线[]，[]于点[]，[]； 第二步：分别以[]，[]为圆心，以[]为半径画弧，两弧在[]内部交于点[]； 第三步：画射线[]．射线[]即为所求． 下列正确的是（ ） []

如图，从笔直的公路[]旁一点[]出发，向西走[]到达[]；从[]出发向北走[]也到达[]．下列说法错误的是（ ） []

有一题目：“已知；点[]为[]的外心，[]，求[]．”嘉嘉的解答为：画[]以及它的外接圆[]，连接[]，[]，如图．由[]，得[]．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，[]还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ） []

如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） []

如图，点[]为[]中点，分别延长[]到点[]，[]到点[]，使[]．以点[]为圆心，分别以[]，[]为半径在[]上方作两个半圆．点[]为小半圆上任一点（不与点[]，[]重合），连接[]并延长交大半圆于点[]，连接[]，[]． [][] （1）①求证：[]； ②写出∠1，∠2和[]三者间的数量关系，并说明理由． （2）若[]，当[]最大时，直接指出[]与小半圆的位置关系，并求此时[]（答案保留[]）．

如图1和图2，[][]中，[]，[]，[]．点[]在[]边上，点[]，[]分别在[]，[]上，且[]．点[]从点[]出发沿折线[]匀速移动，到达点[]时停止；而点[]在[]边上随[]移动，且始终保持[]． [][] （1）当点[]在[]上时，求点[]与点[]的最短距离； （2）若点[]在[]上，且[]将[]的面积分成上下4：5两部分时，求[]的长； （3）设点[]移动的路程为[]，当[]及[]时，分别求点[]到直线[]的距离（用含[]的式子表示）； （4）在点[]处设计并安装一扫描器，按定角[]扫描[]区域（含边界

如图，在小正三角形组成的网格中，已有[]个小正三角形涂黑，还需涂黑[]个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则[]的最小值为（　　） []

根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）

勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地． （1）A，B间的距离为______km； （2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______km． []

已知：整式[]，整式[]． 尝试: 化简整式[]． 发现: []，求整式[]． 联想:由上可知，[]，当n＞1时[]为直角三角形的三边长，如图．填写下表中[]的值： [] 直角三角形三边 [] [] [] 勾股数组Ⅰ / 8 勾股数组Ⅱ [] /

如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心． （1）求证：∠BAD=∠CAE； （2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值； （3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值． []

下列图形具有稳定性的是（　　）

尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线； Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线． 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图： [] 则正确的配对是（ ）

已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　） []

如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） []

如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α． （1）求证：△APM≌△BPN； （2）当MN=2BN时，求α的度数； （3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围． []

如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣[]x+5的图象l₁分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l₂与l₁交于点C（m，4）． （1）求m的值及l₂的解析式； （2）求S_(△AOC)﹣S_(△BOC)的值； （3）一次函数y=kx+1的图象为l₃，且1₁，l₂，l₃不能围成三角形，直接写出k的值． []

如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧[]，使点B在O右下方，且tan∠AOB=[]，在优弧[]上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP． （1）若优弧上一段[]的长为13π，求∠AOP的度数及x的值； （2）求x的最小值，并指出此时直线l与[]所在圆的位置关系； （3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值． []

图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( ) []

如图是边长为10[]的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：[])不正确的( ) [] []

如图，[]，[]为[]中点，点[]在线段[]上(不与点[]，[]重合)，将[]绕点[]逆时针旋转[]后得到扇形[]，[]，[]分别切优弧[]于点[]，[]，且点[]，[]在[]异侧，连接[]． [] (1)求证：[]； (2)当[]时，求[]的长(结果保留[])； (3)若[]的外心在扇形[]的内部，求[]的取值范围．

图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ） [] 图1 图2 第8题图

如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） [] 第15题图 []

如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ） [] 第16题图

如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ） []

平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝____°. []

如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠【 】 []

如图，边长为a的正六边形内有两个三角形，（数据如图），则[]【 】 []

（本小题满分10分）如图，A,B,C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=100米，四人分别测得∠C的度数如下表： 甲 乙 丙[ 丁 ∠C（单位：度） 34 36 38 40[ 他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图，如下图. [] （1）求表中∠C度数的平均数[]： （2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整； （3）用（1）中的[]作为∠C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注：sin37°=0.6，c

一个正方形和两个等边三角形的位置如图6所示，若∠3 = 50°，则∠1+∠2 =

（2012•河北）在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其它格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是　　　　　　． []

（2012•河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为　　　　　　． []

（2012•河北）如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD﹣DC﹣CB，这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD=10：5：2． （1）求外环公路的总长和市区公路长的比； （2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了[]h，求市区公路的长． []

（2012•河北）如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧． （1）AE和ED的数量关系为 ；AE和ED的位置关系为 ； （2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3． ①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD． ②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，

已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为

如图8-1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A´B´D´的位置，得到图8-2，则阴影部分的周长为___________.

（本小题满分12分） 如图16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，[]，AD = 6，BC = 8，[]，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止． 设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)． （1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） 2009年河北省初中毕业生升学文化课考试 总 分 核分人 数 学 试 卷 卷Ⅱ（非选择题，共96分） 注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．

如图8，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、 AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点[] 处，且点[]在△ABC外部，则阴影部分图形的周长 为 cm．

（本小题满分10分） 如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c． 阅读理解： （1）如图13-1，⊙O从⊙O₁的位置出发，沿AB滚动到 ⊙O₂的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在 ∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由 ⊙O₁的位置旋转到⊙O₂的位置，⊙O绕点B旋 转的角∠O₁BO₂ = n°，⊙O在点B处自转[]周． 实践应用： （1）在阅读理解的