圆

一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（    ）

2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字[]对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字[]对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：[]，[]）

某工厂生产[]，[]，[]，[]四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题： | 产品数据   

如图1，图2，正方形[]的边长为5．扇形[]所在圆的圆心[]在对角线[]上，且不与点[]重合，半径[]，点[]，[]分别在边[]，[]上，[][]，扇形[]的弧交线段[]于点[]，记为[]． (1)如图1，当[]时，求[]的度数； (2)如图2，当四边形[]为菱形时，求[]的长； (3)当[]时，求[]的长．

情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段EF的长； （2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长． 探究 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五

已知⊙O的半径为3，弦MN＝2[]．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3[]．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x． （1）当点B与点N重合时，求劣弧[]的长； （2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值； （3）设点O到BC的距离为d． ①当点A在劣弧[]上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． []

如图，点[]是[]的八等分点．若[]，四边形[]的周长分别为a，b，则下列正确的是( ) [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

如图是一种轨道示意图，其中[]和[]均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且[]．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同[]速度匀速移动，其路线分别为[]和[]．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以[]为直径的半圆[]，[]，如图1和图2所示，[]为水面截线，[]为台面截线，[]． 计算：在图1中，已知[]，作[]于点[]． （1）求[]的长． 操作：将图1中的水面沿[]向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当[]时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为[]，[]与半圆的切点为[]，连接[]交[]于点[]． [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] 探究：在图2中 （2）操

某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与[]所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则[]的长是（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙[]三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．

如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线[]．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m． [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] （1）求∠C的大小及AB的长； （2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：[]取4，[]取4.1）

小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2中“（　　）”应填的颜色是（　　） []

如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A_(n)（n为1～12的整数），过点A₇作⊙O的切线交A₁A₁₁延长线于点P． （1）通过计算比较直径和劣弧[]长度哪个更长； （2）连接A₇A₁₁，则A₇A₁₁和PA₁有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长PA₇的值． []

在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置． 论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10； 发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？ 尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离； 拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）； ②当点C

如图1，已知[]，用尺规作它的角平分线． 如图2，步骤如下， 第一步：以[]为圆心，以[]为半径画弧，分别交射线[]，[]于点[]，[]； 第二步：分别以[]，[]为圆心，以[]为半径画弧，两弧在[]内部交于点[]； 第三步：画射线[]．射线[]即为所求． 下列正确的是（ ） []

有一题目：“已知；点[]为[]的外心，[]，求[]．”嘉嘉的解答为：画[]以及它的外接圆[]，连接[]，[]，如图．由[]，得[]．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，[]还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ） []

如图，点[]为[]中点，分别延长[]到点[]，[]到点[]，使[]．以点[]为圆心，分别以[]，[]为半径在[]上方作两个半圆．点[]为小半圆上任一点（不与点[]，[]重合），连接[]并延长交大半圆于点[]，连接[]，[]． [][] （1）①求证：[]； ②写出∠1，∠2和[]三者间的数量关系，并说明理由． （2）若[]，当[]最大时，直接指出[]与小半圆的位置关系，并求此时[]（答案保留[]）．

根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）

某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（ ）

对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为[]、宽为[]的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数[].”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长[]，再取最小整数[]． 甲：如图2，思路是当[]为矩形对角线长时就可移转过去；结果取[]． 乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14． 丙：如图4，思路是当[]为矩形的长与宽之和的[]倍时就可移转过去；结果取[]． 下列正确的是（ ） []

如图1和2，[]中，AB=3，BC=15，[]．点[]为[]延长线上一点，过点[]作[]切[]于点[]，设[]． [] （1）如图1，[]为何值时，圆心[]落在[]上？若此时[]交[]于点[]，直接指出PE与BC的位置关系； （2）当[]时，如图2，[]与[]交于点[]，求[]的度数，并通过计算比较弦[]与劣弧[]长度的大小； （3）当[]与线段[]只有一个公共点时，直接写出[]的取值范围．

老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分． （1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数； （2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率； （3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了 人． []

如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α． （1）求证：△APM≌△BPN； （2）当MN=2BN时，求α的度数； （3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围． []

如图，[]，[]为[]中点，点[]在线段[]上(不与点[]，[]重合)，将[]绕点[]逆时针旋转[]后得到扇形[]，[]，[]分别切优弧[]于点[]，[]，且点[]，[]在[]异侧，连接[]． [] (1)求证：[]； (2)当[]时，求[]的长(结果保留[])； (3)若[]的外心在扇形[]的内部，求[]的取值范围．

如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹. 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧； 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧，将弧于点D； 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H. 下列叙述正确的是（ ） [] 第10题图

（本小题满分10分） 如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合. 发现 AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l； 思考 点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________. 探究 当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长. （注：结果保留π，cos 35°=[]，cos 55°=[]） [] []

一张菱形纸片按图1-1、图1-2依次对折后.再按图l-3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ） []

如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ） []

如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.[]按下列要求画图： 以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A₁，得第1条线段AA₁； 再以A₁为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A₂，得第2条线段A₁A₂； 再以A₂为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A₃，得第3条线段A₂A₃； …… 这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝____. []

(本小题满分14分) 平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠BOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°). [] 发现(1)当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB上.(填“在”或“不在”) 求当α是多少时，OQ经过点B？ (2)在OQ旋转过程中.简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值： (3)如图，当点P恰好落

如图，将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S_(扇形)= ▲ cm² []

（本小题满分10分）如图，A,B,C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=100米，四人分别测得∠C的度数如下表： 甲 乙 丙[ 丁 ∠C（单位：度） 34 36 38 40[ 他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图，如下图. [] （1）求表中∠C度数的平均数[]： （2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整； （3）用（1）中的[]作为∠C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注：sin37°=0.6，c

(本小题满分11分)如图，优弧[] 所在⊙O的半径为2，AB=[]点P为优弧[]上一点（点P不与A,B重合）将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A'. （1）点O到弦AB的距离是 ▲ ；当BP经过点O时，∠ABA’= ▲ ⁰； （2）当BA’与⊙O相切时，如图所示，求折痕BP的长； （3）若线段BA’与优弧[]只有一个公共点B，设∠ABP=α，确定α的取值范围. []

如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C = 30°， CD = 23.则S_(阴影)=

（本小题满分10分） 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图14-1）和条形图（如图14-2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误． [] 回答下列问题： （1）写出条形图中存在的错误，并说明理由； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的： [] ① 小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ② 请你

（本小题满分11分） 如图16，△OAB中，OA = OB = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N. （1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′. 求证：AP = BP′； （2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离； （3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数. []

（2012•河北）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（　　） []

（2012•河北）如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒． （1）求点C的坐标； （2）当∠BCP=15°时，求t的值； （3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值． []

如图4，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是 []

如图7，点O为优级弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB延长线上，BD＝BC，则∠D＝ __________

（本小题满分8分） . 如图11，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有–1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形）. 1. 2. 若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两“不谋而合”.用列表法（或画树状图）求两人“不谋而合”的概率. [] 得 分 评卷人

（本小题满分10分） 如图14-1至14-4中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点． []思考 如图14-1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α． 当α＝_____度时，点P到CD的距离最小，最小值为_______ 探究一 在图14-1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图14-2，得到最大旋转角∠BMO＝_____度，此时点N到CD的距离是_______． 探

如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是

某盏路灯照射的空间可以看成如图9所示的圆锥，它的高AO = 8米，母线AB与底面半径OB的夹角为[]，[]， 则圆锥的底面积是 平方米（结果保留π）．

（本小题满分9分） 甲校成绩统计表 甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 分 数 7 分 8 分 9 分 10 分 人 数 11 0 8 （1）在图12-1中，“7分”所在扇形的圆心角 等于 °． （2）请你将图12-2的统计图补充完整． （3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好． （4）如果

（本小题满分10分） 观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以 左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且 PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得 OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米． 解决问题 （1）点Q与点O间的最小距离是 分米； 点Q与点O间的最大距离是 分米； 点Q在l上滑

（本小题满分8分） 图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m， OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE = []． （1）求半径OD； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 得 分 评卷人

如图3，已知[]的半径为5，点[]到弦[]的距离为3，则[]上 到弦[]所在直线的距离为2的点有（ ）

图9-1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个 全等的直角三角形围成的．若[]，[]，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．