新定义与规律探究

四边形[]的边长如图所示，对角线[]的长度随四边形形状的改变而变化．当[]为等腰三角形时，对角线[]的长为（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，[]为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．

定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B． | 证法1：如图， | | ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， | | 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， | | ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． | | ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）． | | 证法2：如图， | | ∵∠A＝76°，∠B＝59°， | | 且∠ACD＝135°（量角器测量所得） | | 又∵135°＝76°+59

对于①[]，②[]，从左到右的变形，表述正确的是（ ）

如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是[]元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则[]（ ） []

如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． 示例：[]即4+3＝7 则（1）用含x的式子表示m＝_____； （2）当y＝﹣2时，n的值为_____． []

已知：整式[]，整式[]． 尝试: 化简整式[]． 发现: []，求整式[]． 联想:由上可知，[]，当n＞1时[]为直角三角形的三边长，如图．填写下表中[]的值： [] 直角三角形三边 [] [] [] 勾股数组Ⅰ / 8 勾股数组Ⅱ [] /

某球室有三种品牌的[]个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知[]（一次拿到[]元球）[]． （1）求这[]个球价格的众数； （2）若甲组已拿走一个[]元球训练，乙组准备从剩余[]个球中随机拿一个训练． ①所剩的[]个球价格的中位数与原来[]个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率． | 又拿 | | | | | 先拿 | | | | +:===============+:==========

如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） []

若a，b互为相反数，则a²﹣b²=_____．

如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等． 尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？ （2）求第5个台阶上的数x是多少？ 应用 求从下到上前31个台阶上数的和． 发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数． []

（本小题满分10分） 如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合. 发现 AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l； 思考 点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________. 探究 当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长. （注：结果保留π，cos 35°=[]，cos 55°=[]） [] []

定义新运算：[]，例如：4⊕5=[]，4⊕（-5）=[]．则函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是【 】 [] []

（本小题满分13分）某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图，现有1号，2号两游览车分别从出口A和经典C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分. 探究：设行驶时间为t分 （1）当0≤t≤s时，分别写出1号车，2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值； （2）t为何值时，1号车第三次恰好经过点C？，并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数. 发现

（本小题满分9分） 定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： 2⊕5＝2×(2－5)+1＝2×(－3)+1＝－6+1＝－5 （1）求（－2）⊕3的值 （2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图13所示的数轴上表示出来. []

（本小题满分14分） []一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE = α，如图17-1所示）． 探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图17-2所示．解决问题： （1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB） []（3）求α的度数.(注：s

（2012•河北）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=[]． 探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积S_(△ABC)= ； 拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S_(△ABD)=0） （1）用含x，m，n的代数式表示S_(△ABD)及S_(△CBD)； （2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值； （3）对给定的一个

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） 2009年河北省初中毕业生升学文化课考试 总 分 核分人 数 学 试 卷 卷Ⅱ（非选择题，共96分） 注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．