相交线与平行线

综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图[]），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形[]（数据如图[]所示）．作一条直线[]，使[]与[]所夹的锐角为[]，且将矩形[]分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． | 如图3，嘉嘉的思路如下： | 如图4，淇淇的方法如下： | | ①连接[]，[]交于点[]； | ①在边[]上截取[]，连接[]； | | ②过点

已知⊙O的半径为3，弦MN＝2[]．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3[]．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x． （1）当点B与点N重合时，求劣弧[]的长； （2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值； （3）设点O到BC的距离为d． ①当点A在劣弧[]上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． []

淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西[]的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

综合实践课上，嘉嘉画出[]，利用尺规作图找一点C，使得四边形[]为平行四边形．图1~图3是其作图过程． | （1）作[]的垂直平分线交[]于点O； | （2）连接[]，在[]的延长线上截取[]； | （3）连接[]，[]，则四边形[]即为所求． | | [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] | [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰

如图，直线[]，菱形[]和等边[]在[]，[]之间，点A，F分别在[]，[]上，点B，D，E，G在同一直线上：若[]，[]，则[]（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ） [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）； （2）AE＝______． [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！]

如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线[]．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m． [学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材以及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！] （1）求∠C的大小及AB的长； （2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：[]取4，[]取4.1）

如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作： ①以O为圆心，OA为半径画圆； ②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP； ③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N； ④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F． 结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形； 结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S_(扇形FOM)＝S_(扇形AOB)． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ） []

在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置． 论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10； 发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？ 尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离； 拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）； ②当点C

如图，从笔直的公路[]旁一点[]出发，向西走[]到达[]；从[]出发向北走[]也到达[]．下列说法错误的是（ ） []

下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 [] 则回答正确的是（ ）

根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）

尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线； Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线． 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图： [] 则正确的配对是（ ）

已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　） []

如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　） []

如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧[]，使点B在O右下方，且tan∠AOB=[]，在优弧[]上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP． （1）若优弧上一段[]的长为13π，求∠AOP的度数及x的值； （2）求x的最小值，并指出此时直线l与[]所在圆的位置关系； （3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值． []

求证：菱形的两条对角线互相垂直． 已知：如图，四边形[]是菱形，对角线[]，[]交于点[]． 求证：[]． 以下是排乱的证明过程：①又[]， ②∴[]，即[]． ③∵四边形[]是菱形， ④∴[]． 证明步骤正确的顺序是( ) []

如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边.若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°. [] 第19题图 当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A₁后，经OB反射到线段AO上的点A₂，易知∠1=∠2.若A₁A₂⊥AO，光线又会沿A₂→A₁→A原路返回到点A，此时∠A=_____°. …… 若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=_______°.[来源: 学【答案】76°，6°.

（2012•河北）如图，抛物线y₁=a（x+2）²﹣3与y₂=[]（x﹣3）²+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y₂的值总是正数； ②a=1； ③当x=0时，y₂﹣y₁=4； ④2AB=3AC； 其中正确结论是（ ） []

（本小题满分10分） 如图14-1至14-4中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点． []思考 如图14-1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α． 当α＝_____度时，点P到CD的距离最小，最小值为_______ 探究一 在图14-1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图14-2，得到最大旋转角∠BMO＝_____度，此时点N到CD的距离是_______． 探

（本小题满分12分） 如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过

如图4，正方形[]的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形[]的顶点上，且它们的各边与正方形[]各边平行或垂直．若小正方形的边长为[]，且[]，阴影部分的面积为[]，则能反映[]与[]之间函数关系的大致图象是（ ）