2013 年 · 数学试卷

气温由-1℃上升2℃后是

截至2013年3月底，某市人口总数已达到4 230 000人.将4 230 000用科学记数法表示为

下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 []

下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是

若x＝1，则＝

下列运算中，正确的是

甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是

如图1，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为

如图2，淇淇和嘉嘉做数学游戏： 假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y =

反比例函数y＝的图象如图3所示，以下结论： []① 常数m ＜－1； ② 在每个象限内，y随x的增大而增大； ③ 若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k； ④ 若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上. 其中正确的是

如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =

如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业： [] []对于两人的作业，下列说法正确的是

一个正方形和两个等边三角形的位置如图6所示，若∠3 = 50°，则∠1+∠2 =

如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C = 30°， CD = 23.则S_(阴影)=

如图8-1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成 △ABC，且∠B = 30°，∠C = 100°，如图8-2. []则下列说法正确的是

如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12 []动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位 长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = S△EPF， 则y与t的函数图象大致是[]

如图10，A是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块 [] 随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是________．

若x+y＝1，且，则x≠0，则(x+) ÷的值为_____________．

如图11，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上， 将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC， 则∠B = °．

如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； []将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_________．

（本小题满分9分） 定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： 2⊕5＝2×(2－5)+1＝2×(－3)+1＝－6+1＝－5 （1）求（－2）⊕3的值 （2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图13所示的数轴上表示出来. []

（本小题满分10分） 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图14-1）和条形图（如图14-2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误． [] 回答下列问题： （1）写出条形图中存在的错误，并说明理由； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的： [] ① 小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ② 请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．

（本小题满分10分） 如图15，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒. （1）当t＝3时，求l的解析式； （2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围； （3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上. []

（本小题满分11分） 如图16，△OAB中，OA = OB = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N. （1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′. 求证：AP = BP′； （2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离； （3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数. []

（本小题满分12分） 次数n 2 1 速度x 40 60 指数Q 420 100 某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据． （1）用含x和n的式子表示Q； （2）当x = 70，Q = 450时，求n的值； （3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值； （4）设n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m＞0） 同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能， 求出m的值；若不能，请说明理由． 参考公式：抛物线y＝ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－，）

（本小题满分14分） []一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE = α，如图17-1所示）． 探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图17-2所示．解决问题： （1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB） []（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝) 拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围. [温馨提示：下页还有题！] 延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm³. [][] [] [] [] [] [] [] [] []